Poliedros inscritos - Dodecaedro.

Para ver la inscripción de los otros poliedros es conveniente modificar la posición del dodecaedro, colocándolo apoyado en una arista como si estuviera inscrito en un cubo, y de esta forma los poliedros inscritos aparecen en la posición en la que estamos acostumbrados a verlos.

En la figura de la izquierda se representa un cubo inscrito, en el centro el par de tetraedros que estarían inscritos en el cubo anterior, y a la derecha un octaedro.

Como puede observarse, en los dos primeros casos el número de vértices de los poliedros inscritos es inferior a los del dodecaedro, y en el tercero pasa lo mismo con relación a las aristas.

Debido a ello, resulta que hay más de un poliedro de cada tipo que puede inscribirse en un mismo dodecaedro.

A continuación vamos a analizar cada caso. Para ello, ya que se ha visto cómo se inscribe cada uno, vamos a devolver el dodecaedro a su posición habitual.

En esta figura vemos claramente que la arista del cubo coincide con una de las diagonales del pentágono superior. Como el pentágono tiene cinco diagonales diferentes, podemos colocar cinco cubos, cuyas restantes aristas irán ocupando en las otras caras posiciones diferentes. A la derecha se representa la macla resultante de colocar los cinco cubos.

En la figura de arriba se representan los dos tetraedros que pueden inscribirse en un cubo, y por el mismo razonamiento que en el caso anterior, son en total diez los tetraedros diferentes que pueden inscribirse y que se reproducen en la figura de la derecha.

Por último, en el caso del octaedro, vemos que en el pentágono superior hay un vértice que coincide con una arista, y lo mismo que en el caso del cubo o de la pareja de tetraedros, hay cinco octaedros diferentes, cuya macla se representa a la derecha.

Quien tenga ganas de distraerse un rato puede calcular la relación existente entre las aristas de los distintos poliedros inscritos y la del dodecaedro. La solución la incluiré próximamente.

A. Sicre