Los puntos en el plano no los definimos, los representamos y los nombramos con las letras mayúsculas del alfabeto y los localizamos en el plano utilizando un sistema de referencia .
Un sistema de referencia son dos rectas perpendiculares entre si, que llamamos ejes, que se cortan en un punto que denominamos origen. Habitualmente uno de los ejes es una recta horizontal y el otro una recta vertical. Al eje horizontal lo denominamos eje de abcisas y al vertical eje de ordenadas.
Sobre cada eje se establece una unidad para medir, no tiene que ser la misma, que establece una correspondencia entre cada punto del eje y un número real y entre cada número real y cada punto del eje.
Ejemplo : Un sistema de referencia y localización de un punto en el plano.
Un punto del plano queda determinado por su coordenada x y por su coordenada y. En el caso de la figura anterior, las coordenada del punto A son : coordenada x=7, coordenada y= 5 y escribimos A(7, 5).
Realmente lo que nos interesa de estos elementos son su magnitud
(módulo), dirección y sentido. De forma que todos los
vectores que tengan la misma magnitud, dirección y
sentido, los agrupamos en una clase, que origina un nuevo objeto, al que
llamamos vector libre y que podemos representar
por cualquiera de sus elementos, cualquiera de ellos representa a la clase.
A los vectores libres los representamos por letras minúsculas del
alfabeto, en ocasiones coronadas por una flecha. Dado un
sistema de referencia los vectores libres
quedan determinados por un par de números reales, llamados sus
componentes.
Observar en la figura como el vector v
tiene las mismas componentes, independientemente de que en cada uno
el punto origen y el punto extremo, son distintos. En adelante cuando nos
refiramos a un vector, nos referimos a un
vector libre. Como se puede observar en la figura, un
vector queda determinado dando su origen y su extremo o dando sus componentes, mediante la siguiente fórmula:
Observación :
No hay que confundir un punto con un vector, ambos se
determinan por un par de números reales, pero conceptualmente son muy
diferentes.
Como ejemplo, vamos a determinar, en la figura siguiente, la recta dada por el punto A(2, 3) y el vector v (-1, 2).
Las coordenadas P(x, y) de los puntos que pertenecen a la recta se obtienen sumando al vector OA, el vector v multiplicado por un número real.
Puede ser motivo de confusión, que las coordenadas del punto P(x, y) coinciden con las componenetes del vector OP. Esta circustancia permite utilizar métodos vectoriales o métodos paramétricos para obtener las coordenadas de los puntos P(x, y) que pertenecen a la recta.
Observación: El vector de componenets (-b, a) es el vector que determina la dirección de la recta y se llama vector director. Todas las rectas con un mismo vector director son paralelas.
Ejemplo: Sea la recta de ecuación:
x - 2y = 5
Para dibujarla en un sistema de referencia , sólo tenemos que determinar dos puntos o el vector director y un punto. El vector director es (2, 1) y para determinar puntos que pertenezcan a la recta, despejamos una de las variables en función de la otra, por ejemplo, la x en función de la y.
x = 5 + 2y
Y dando valores a y, obtenemos valores para x.
Si la ecuación de la recta es :
ax + by = c
Los semiplanos en que divide al plano esta ecuación vienen dados por las soluciones de las inecuaciones :
ax+by < c ; ax+by > c
Ejemplo: Sea la recta de ecuación :
3x - 2y = 5
Los semiplanos que define son :
El semiplano determinado por cada inecuación es su conjunto de soluciones. Una vez dibujada la recta en un sistema de referencia, si no pasa por el origen, la forma más practica de determinar el semiplano solución de cada inecuación, consiste en probar con el punto (0, 0) en la ecuación de la recta y cmprobar qué inecuación satisface; si la recta pasa por el origen, se prueba con cualquier otro punto de coordenadas sencillas.
Sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas.Es el conjunto de dos o más inecuaciones que se deben satisfacer a la vez.
Conjunto solución del sistema o región factible es la región formada por la intersección de los semiplanos solución de cada una de las inecuaciones de un sistema.
Polígono convexo o región convexa . Es toda región del plano tal que para dos puntos cualesquiera de la región , el segmento que los une está contenido en su interior.
La región factible es un polígono convexo y puede ser: acotado, no acotado y vacío, es decir, que no haya ni un solo punto que verifique todas las restricciones al mismo tiempo.
Programación lineal Es una parte de las matemáticas que trata de optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal en un conjunto definido por unas restricciones que están dadas por inecuaciones lineales.
Función objetivo Es la función que deseamos optimizar, es decir, maximizar o minimizar. En el caso bidimensional, que es el que nos interesa, la representamos por :
f(x,y)=ax+by+c
Rectas de nivel Son las rectas que pasan por los puntos de la región factible y son paralelas al vector director de la función objetivo.
Solución óptima Es el punto o conjunto de puntos de la región factible donde la función objetivo alcanza el valor máximo o el valor mínimo. La solución óptima siempre se alcanza en uno de los vértices o en el segmento que une dos vértices de la región factible.