Sea una mesa de billar de logitud y ancho iguales a la unidad, si empujamos una bola en la dirección que se indica en la figura, la bola rodará y rebotará en los bordes hasta parar. Cuando pare, determina un punto sobre la mesa, cuya distancia al extremo izquierdo denotamos por X.
X es una variable aleatoria continua, porque pertenece al intervalo [0,1]. El espacio muestral es [0,1]. Lo que pretendemos es construir un modelo de proababilidad, en el que cada resultado sea igualmente posible. Si procedemos como en el caso de la probabilidad sobre un espacio discreto, deberíamos asignar probabilidad 0 a cada resultado, pues de otra forma, la suma de las probabilidades de todos los posibles resultados no sería 1. En cualquier caso si asignamos a cada resultado probabilidad 0, la suma es 0 y no 1 como debería ser.
Que asignemos probabilidad 0 a cada resultado puntual no significa que la probabilidad de cada suceso sea 0. Si denotamos por X el resultado puntual de un experimento concreto, la probabilidad:
de que la bola pare en algún lugar de la mesa, cuya distancia al extremo izquierdo esté comprendida entre 0 y 1, debería ser igual a 1. También, la probabilidad de que la distancia a la que pare, esté entre 0 y 1/2, debe ser igual a la probabilidad de que esté entre 1/2 y 1. Es decir:
Más generalmente, nos gustaría que a intervalos iguales, correspondieran probabilidades iguales, es decir:
para cualquier elección de c y d.
Si E=[c,d], entonces se puede escribir la fórmula anterior así:
donde
La diferencia entre la probabilidad sobre espacios discretos y sobre espacios
continuos, está en que sobre espacios continuos el valor que se integra (suma),
El experimento que hemos descrito, se puede simular con un ordenador o una calculadora, simplemente generando números aleatorios entre 0 y 1. Hemos simulado 1.000 veces este experimento, los resultados aparecen en la figura que sigue. Las áreas de los rectángulos son el número de resultados, con valor comprendido entre los extremos de la base de cada rectángulo, dividido por el número total de experimentos (1.000).
La función
No siempre la función de densidad
Sea la misma mesa de billar, pero ahora con dos bolas, una la desplazamos a lo ancho y la otra a lo largo, en las direcciones que se indican en la figura:
El resultado del experimento son dos números aleatorios pertenecientes al intervalo
Como antes, hemos generado los dos números aleatorios con un programa de simulación repitiendo el experimento 1.000 veces. Los resultados aparecen en el siguiente diagrama:
