Función :
Es una relación entre los elementos
de dos conjuntos, de forma que a determinados elementos del primer conjunto
se asocian elementos del segundo conjunto de manera unívoca, es decir que a un
elemento del primer conjunto no le podemos asociar más de un elemento del
segundo conjunto. A un elemento cualquiera del primer conjunto lo representamos
con la letra x, que denominamos
variable independiente y al único elemento que le corresponde en el
segundo conjunto lo representamos por la letra y, a la que denominamos
variable dependiente. A la relación
la representamos por la letra f y escribimos y=f(x).
Dominio de definición de una función f :
Es el conjunto de valores de x para los que la función f(x)
existe. Lo representamos por
Recorrido o imagen de una función f :
Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y. Lo
representamos por
Función real de variable real :
Es aquella cuyo dominio y recorrido son subconjuntos del conjunto de los
números reales.
Las funciones reales de variable real se suelen representar en el plano, utilizando un sistema de referencia. En la figura que sigue, la primera gráfica, es la gráfica de una función ; la segunda, no es la gráfica de una función:
En el primer caso a cada valor de x le corresponde un único valor de y. En el segundo caso, hay valores de x que no están únicamente determinados.
Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una fórmula o una gráfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante una fórmula o expresión analítica y su gráfica. Según la expresión analítica clasificamos las funciones de la siguiente forma:
El conjunto [a,b] se llama intervalo cerrado y (a,b) se llama intervalo abierto. En cualquiera de los casos b-a se llama longitud del intervalo.
Entorno de un número real x:
Límite de una función en un punto
Explicación dinámica del concepto de punto de acumulación
Puntos tan próximos como queramos significa que cualquiera que sea la distancia que consideremos, por muy pequeña que sea, existen puntos del dominio de definición de la función, que no coincidan con "a", a una distancia de "a" menor que la considerada.
Ejemplo dinámico de un punto "a" que no es punto de acumulación
El límite depende únicamente del comportamiento de la función en las proximidades de a, no de cual sea el valor de la función en el punto a ; de hecho, a puede no pertenecer al dominio de definición de la función. Sí es necesario, que "a" sea punto de acumulación del dominio de definición de la función.
Explicación dinámica del concepto de límite
Ejemplo : Una función típica en análisis es :
Esta función no está definida en el punto x=1 . Para este valor de x, el denominador de la función es 0 , y no tiene sentido en matemáticas dividir por 0. El valor al que esta función se aproxima, cuando x tiende a 1 por la izquierda o por la derecha, es 2. Luego la función tiene límite cuando x se aproxima a 1 ; el límite es 2. Escribimos:
Límites laterales:
El límite lateral por la izquierda de una función y=f(x)
en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando
x se aproxima al valor de a por valores menores que a
. Lo representamos por :
El límte lateral por la derecha de una función
Ejemplo :
Límite de una función en el infinito.
Ejemplo :
Sucesiones y límite de sucesiones.
Una sucesión es una función discreta, cuyo
dominio de definición son los números naturales positivos. La
variable independiente se representa con la letra n y la
variable dependiente se representa por
an.
Una sucesión an, tiene límite L , si al crecer indefinidamente n, los términos de la sucesión an se aproximan indefinidamente al número L. Que los terminos de an se aproximan indefinidamente a L, significa que todos los términos de la sucesión a partir de uno en adelante están contenidos en cada entorno L. Lo representamos por:
Observación : en las sucesiones no podemos hablar de límite cuando n se aproxima a un número natural positivo, porque en el dominio de definición de las sucesiones, el conjunto de los números naturales positivos, no nos podemos aproximar indefinidamente a cualquier elemento, como mucho nos podremos aproximar al número entero anterior o al siguiente.
Ejemplo :
Los términos de esta sucesión crecen continuamente, es decir aumentan cuando
aumenta n, pero la sucesión está acotada, es decir sus términos no
pasan de un determinado valor, por tanto los terminos de la sucesión han de
aproximarse a algún número, que estará comprendido entre el 2 y el 3.
El número al que se aproximan los términos de esta sucesión, es una constante
muy característica en matemáticas que recibe el nombre de número e.
Se define como :
Tiene infinitas cifras decimales, es un número real trascendente;
para conseguir una aproximación de esta constante, podemos utilizar la calculadora
del ordenador. En windows 98, la calculadora nos da el valor :
2,71828182845904523536028747135266
El número e
Vamos a considerar la sucesión :
