La distribución Normal

La mayoria de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales, físicas y biológicas, por ejemplo, el peso de niños recién nacidos, talla de jóvenes de 18 años en una determinada región, son continuas y se distribuyen según una función de densidad , que tiene la siguiente expresión analítica :

Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviación típica. Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente. El área bajo la función de densidad es 1. La función de densidad, en el caso de la distribución Normal, tiene forma de campana :

Para una variable aleatoria X, que se distribuye normalmente con media : μ y desviación típica : σ, la probabilidad de que la variable X esté comprendida entre los valores a y b es el área teñida de rojo en la siguiente figura :

Y que analíticamente se puede calcular así:

Como el cálculo de esta integral es laborioso, para calcular el área se realiza el siguiente cambio de variable:

Cambio que origina una distribución normal stándar de media μ = 0 y desviación típica σ = 1 cuya función de densidad es :

Y cuyos valores se tabulan :

Ejemplo:

Consideremos que el peso de los niños varones españoles en el momento del nacimiento se distribuye normalmente. Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 3,25 kgs y la desviación típica es de 0,82 kgs, ¿cúal es la probabilidad de que el peso de un niño varón al nacer sea superior a 4 kgs?

Tipificamos la variable aleatoria X, peso de los niños al nacer. En el proceso de tipificación, al valor de X=4, le corresponde el valor, t=0,9146 :

En la tabla de la distribución normal tipficada, buscamos el valor de α correspondiente al valor de t=0,9146 ; la probabilidad de t > 0,9146 es, según se puede apreciar en la figura: α / 2. Luego: