El concepto de derivada está intimamamente ligado a el del límite .
Para comenzar debemos recordar cual es la ecuación de una recta en función de dos puntos conocidos (a,b) y (a',b') :
El segundo término de la ecuación es lo que se llama pendiente de la recta , y nos da la inclinación o pendiente que tiene la recta respecto a la horizontal .
Si tenemos una función f(x) y los dos puntos pertenecen a ella entonces estaremos calculando la ecuación de la recta secante (corta a la función en dos puntos) :
Por lo tanto tendremos que :
Donde ahora la pendiente m de la recta viene dada por :
Si la distancia entre los dos puntos h se va haciendo cada vez más pequeña (h tiende a 0 ) obtendríamos una recta tangente (corta a la función en un solo punto)
La ecuación de la recta tangente vendrá dada por :
Donde la pendiente es :
Pues bien a la pendiente de la recta tangente se le llama derivada de la función en ese punto :
¿Cómo se calcula la derivada de una función en un punto?
Puesto que la derivada es un límite , lo que tenemos que hacer es calcularlo . Veamos un ejemplo sencillo :
Sea la función f(x) = x2 vamos a calcular su derivada en el punto x0 = 3
Si sustituimos el punto x0 = 1 obtendremos que :
f '(1) = 2 · 1 = 2
Por lo tanto la pendiente de la recta tangente es positiva y tiene un valor de 2 .
Que la pendiente sea positiva significa que en ese punto la función es creciente , es decir , al aumentar la x aumenta la y .
¿Para que se puede utilizar el concepto de derivada ?
Si en el ejemplo anterior sustituimos el punto x0 = -1 obtendremos que
f '(-1) = 2 · (-1) = -2
En este caso la pendiente es negativa por lo que la función en este punto es decreciente .
Si analizamos en general el valor de la derivada de esta función en un punto cualquiera , vemos que si x0 es positivo , la derivada f '(x0) es positiva y por lo tanto la función es creciente y si el punto x0 es negativo la derivada f '(x0) es negativa y por lo tanto la función es decreciente .
¿Qué ocurre en el punto x0 =0? Pues que ni es creciente ni decreciente si no que tenemos un mínimo ya que la función pasa de ser decreciente a la izquierda a creciente por la derecha .
Conclusión : la derivada nos puede servir para estudiar las funciones .
Tabla de derivadas
En la práctica el cálculo de derivadas no se hace a partir de los límites ya que sería en algunos casos muy laborioso . Lo que se suele hacer es utilizar una tabla de derivadas que son un conjunto de reglas muy sencillas de utilizar y que nos evitan tener que calcular los límites .
Esat tabla la podrás encontrar en los apuntes que se ofrecen el este curso .
