Fractales en el IES Leonardo da Vinci

            En el marco de las actividades realizadas durante la II Setmana de les Arts i les Ciències que se acaba de celebrar en el instituto Leonardo da Vinci de Alicante, y para celebrar el año 2000 propuesto por la UNESCO como Año Mundial de las Matemáticas, los alumnos de primer curso de bachillerato tecnológico, junto con su profesor de matemáticas hemos elaborado figuras fractales de gran formato.

            La idea de fractal, concebida por B.M. Mandelbrot  en 1975, es el punto de partida del desarrollo de toda la geometría fractal en la segunda mitad de este siglo, concepto revolucionario que ha permitido importantes progresos en el estudio de objetos y fenómenos irregulares. La geometría fractal se ha convertido en una poderosa herramienta para el análisis de diversos fenómenos naturales complejos, aportando modelos geométricos a numerosas estructuras naturales.

Sus aplicaciones en el aula de matemáticas son muy interesantes, permitiendo mostrar las matemáticas como mezcla de curiosidad y belleza, y enfocando la actividad matemática en el aula como de búsqueda e investigación. La aproximación a este tema novedoso contradice la concepción de las matemáticas como una ciencia completa y cerrada desde hace tiempo.

Los fractales más sencillos son similares a sí mismos, es decir, un pequeño fragmento cualquiera de ellos, con el adecuado cambio de escala, es idéntico al total. Esto significa que cualquier porción de un fractal, por pequeña que sea, contiene toda la información relativa a la figura completa. Esa interrelación a distintas escalas se describe matemáticamente con el concepto de dimensión fractal.

Los fractales lineales forman un grupo fundamental en esta geometría. Cada fractal lineal en el plano queda totalmente definido por un conjunto de transformaciones lineales: reducciones, desplazamientos, rotaciones, reflexiones, y combinaciones de estas. Se caracterizan por el hecho de transformar rectas en rectas.

Los objetivos de esta experiencia son conocer las propiedades básicas de los fractales, y utilizarlos para el trabajo matemático. A partir de las figuras obtenidas hemos podido trabajar en muchos contenidos geométricos y algebraicos propios del currículum de matemáticas de Secundaria. Son numerosas las actividades y ejercicios interesantes, desde el cálculo numérico en los primeros cursos, a la expresión algebraica en los últimos: el número de elementos geométricos que forman cada etapa en la formación del fractal (vértices, lados, triángulos o cuadrados), da lugar a sucesiones geométricas, y las características de estos elementos (longitudes de los lados, y áreas) pueden expresarse algebraicamente. La idea de límite de estas sucesiones para un número muy grande de etapas se utiliza constantemente.

Se trata de figuras planas de grandes dimensiones, hasta de 2 m², en las que utilizando la propiedad de autosimilaridad se ha conseguido representar el fractal en una etapa avanzada de su formación. Estas figuras tan complejas aúnan la precisión de quedar descritas matemáticamente mediante un pequeño número de transformaciones lineales, y la belleza del resultado cuando estas transformaciones se aplican numerosas veces sobre un objeto inicial.

Una de las figuras obtenidas es el Triángulo de Sierpinski, que recibe su nombre del matemático polaco Waclaw Sierpinski, quien lo propuso en 1915 para poner de manifiesto características geométricas extrañas, en este caso para demostrar que una curva puede cruzarse consigo misma en todos sus puntos.

El triángulo de Sierpinski queda definido por un conjunto de tres transformaciones, que sobre cualquier objeto lo reducen a la mitad de su tamaño y colocan las copias en los tres vértices de un triángulo equilátero. Por lo tanto la figura se obtiene conectando los puntos medios de los tres lados de un triángulo equilátero, seleccionando sólo los tres subtriángulos que se forman en las esquinas, y suprimiendo la cuarta parte central del triángulo. Repitiendo este proceso de construcción, quitando fragmentos cada vez más pequeños una y otra vez, infinitas veces, se genera esta imagen fractal tan conocida. Los fractales existen sólo en su estado infinito, pero en la práctica nos conformamos con visualizarlos en alguna etapa finita de su construcción.

Otro de los fractales construidos es Las Aspas de Vicsek, figura que recibe su nombre de Tamás Vicsek, matemático húngaro que propuso esta configuración fractal. La figura está definida por cinco transformaciones geométricas que reducen el objeto a la tercera parte de su tamaño y colocan las copias en los cuatro vértices y en el centro de un cuadrado. Experimentalmente hemos conseguido esta figura descomponiendo un cuadrado en nueve subcuadrados, dividiendo los lados en tres partes iguales, seleccionando sólo los cinco subcuadrados que se forman en las esquinas y el central, y suprimiendo los cuatro restantes. Repitiendo este regla de procedimiento infinitas veces se obtiene la figura fractal.

Los fractales se caracterizan por su dimensión fractal d, generalización de la dimensión euclídea. El triángulo con una dimensión d =1.585, y las aspas con d =1.465, son objetos intermedios entre las líneas (d=1) y las superficies (d=2) de la geometría cláisica. Ocupan más espacio que una línea, pero menos que una superficie.

Pero en clase, la tarea de construcción que parece conceptualmente compleja se ha traducido en un ejercicio manual nada complicado. A partir de una trama triangular y otra cuadrada, hemos formado un patrón de cada una de las figuras. En estos patrones se forma la segunda o tercera etapa del fractal con un tamaño aproximado a una hoja A4 de papel. El rellenado de los elementos de la trama lo hemos hecho con pegatinas de color de las que se utilizan en actividades propias de educación infantil.

La autosimilaridad de estos fractales lineales hace que fotocopiando los patrones podamos montar las siguientes etapas del objeto, al mismo tiempo que la figura total ve aumentar su tamaño. Con tres copias del triángulo colocadas convenientemente (con sólo recortar y pegar) obtenemos la etapa siguiente a doble tamaño que el patrón. Con nueve, una etapa más y otra vez duplicamos tamaño, y así hemos llegado a la etapa séptima de construcción del triángulo fractal.

De forma parecida, con cinco copias del patrón de las aspas adecuadamente colocadas se obtiene la etapa siguiente y aumenta su tamaño al triple. Con veinticinco copias aumentamos una etapa más y volvemos a triplicar el tamaño, y en esta ocasión hemos llegado a la quinta etapa en la formación de las aspas fractales. En este caso también hemos aprovechado que la fotocopiadora permite reducir el tamaño de las copias, con lo que se pueden obtener numerosas etapas de la formación de un fractal sin que el tamaño total de la figura crezca, o por lo menos sin que resulte desorbitado. Las posibilidades experimentales de este procedimiento en la construcción de figuras fractales es enorme.

Pero esta experiencia didáctica no termina en la formación de algunas de las innumerables figuras distintas posibles. Si su construcción ha resultado una tarea interesante y enriquecedora, la utilidad posterior hace de los fractales lineales una herramienta formativa muy eficaz.