SUCESIONES. Límites

El cálculo (o análisis) infinitesimal se denomina así por utilizar cantidades infinitesimales (infinitamente pequeñas): Abarca la teoría de límites, el cálculo diferencial y el integral. Se trabajará con sucesiones de números, considerando una cantidad infinita de términos. Los conceptos del análisis infinitesimal son de una extraordinaria sutileza y el fruto de muchos años de pensamiento.

Las progresiones son casos particulares de sucesiones. En las progresiones, en general, se centra la atención en un número finito de términos; en lo sucesivo tendrá más interés considerar los infinitos términos de una progresión.

Todas las progresiones geométricas cuya razón, en valor absoluto, es menor que uno, tienen algo en común: los términos de la sucesión se van acercando a cero rápidamente (la sucesión tiende a cero).

Por supuesto, no todas las sucesiones presentan la particularidad de que sus términos se aproximen paulatinamente a un número, llamado límite de la sucesión. Las que así se comporten se llamarán convergentes y, de todas las sucesiones, éstas son las merecedoras de estudio.

El concepto de límite ha sido de enorme utilidad en el desarrollo de las matemáticas; en él se fundamenta el cálculo infinitesimal.

Aunque muchos matemáticos utilizaron la idea intuitiva de límite, fue el barón de Cauchy (1789-1857), a principios del siglo XIX, quien dio una definición satisfactoria de límite y, en consecuencia, de derivada de una función.

SUCESIONES. LÍMITES

Una sucesión se simboliza por a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ... en la que el subíndice

Indica, exactamente, el lugar que cada término ocupa en la misma. Así, a₅es el quinto término de la sucesión.

Cuando en una sucesión haya que referirse a un término cualquiera sin especificar el lugar que ocupa se hará siempre mención al término a_n, denominado término n-ésimo. En definitiva, el lugar que cada término tome en una sucesión será de vital importancia a la hora de hacer un mínimo análisis del comportamiento de la sucesión. Los subíndices son los números naturales porque una sucesión tiene tantos elementos como números naturales hay; es decir, una sucesión tiene una cantidad infinita numerable de términos.

Se debe recordar que el término general de una sucesión es una expresión que permite conocer un elemento cualquiera siempre que se sepa el lugar que ocupa.

Entorno

Dado un punto (número) a, un entorno centrado en a es un intervalo de la forma

(a - e, a + e); es decir, es el conjunto de puntos x tales que a - e < x < a + e .

Ejercicio: cálculo del término general de una sucesión

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Encontrar el quincuagésimo término de la sucesión 1, 3, 5, 7,...

Resolución:

· Es una progresión aritmética de diferencia 2.

· Su término general es:

a_n = 1 + (n - 1)·2 = 2n - 1

· a₅₀ = 2·50 - 1 = 99

Resolución:

· Los numeradores forman una progresión aritmética de diferencia 2. Su término general es a_n = 2n + 1

· Cada denominador es el cuadrado de su numerador aumentado en una unidad:

10 = 3²+ 1; 26 = 5² + 1; 50 = 7² + 1; 82 = 9²+ 1

· El término general de la sucesión es:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

El problema del límite

Encontrar el límite de una sucesión es un problema que consiste en determinar a qué número, si es que existe, se aproximan sus términos.

al aumentar n (el número de orden), a_n está cada vez más próximo a cero:

1.Ningún término de la sucesión llega a valer cero.

2.Elegido un entorno centrado en cero, por pequeño que éste sea, siempre se encuentra un término tal que a partir de él todos los términos de la sucesión están dentro de ese entorno.

Por ejemplo, si se elige el entorno (-0,0001 ; 0,0001), a partir del término a_{10 000}, todos los demás términos (a_n, n > 10 000) están en dicho entorno.

En efecto:

· a_{10 000}= 0,0001. Coincide con uno de los extremos del intervalo y, por definición, no tiene cabida en él.

(-0,0001 ; 0,0001).

· Si n > 10 001, a_n < a_10
001 < 0,0001

· Se concluye que si n > 10 000, a_n Î (-0,0001; 0.0001).

Este ejemplo pone las cosas a punto para comprender la definición de límite de una sucesión.

LÍMITE DE UNA SUCESIÓN

Dada una sucesión (a_n), se dice que (a_n) tiene por límite I, tiende a l o converge a l cuando n tiende a infinito (¥), y se simbolizará

o más simplificadamente

(a_n ) ® I,

si para todo e > 0 (épsilon) tan pequeño como se quiera, existe un subíndice n₀ tal que para todo n ³ n₀, a_n pertenece al entorno (I - e, I + e).

Sucesiones convergente y divergente

Toda sucesión que tenga límite (finito) se dice que es convergente.

Una sucesión (a_n) que tenga por límite I, se dirá que tiende a I o que converge a I.

Las demás sucesiones son divergentes.

PROP. DE LÍMITES DE SUC.

Primera propiedad

La suma de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es la suma de los límites.

Segunda propiedad

La diferencia de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es la diferencia de los límites.

Tercera propiedad

El producto de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es el producto de los límites.

Cuarta propiedad

Si una sucesión (a_n) tiene límite L, distinto de 0, y tiene todos sus términos también

Quinta propiedad

Sean (a_n) y (b_n) dos sucesiones convergentes que tienen por límites L₁ y L₂.

Ejemplo: cálculo de límites

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Resolución:

· La base es un cociente de dos polinomios del mismo grado, por tanto su límite es 1/2

· El exponente es también un cociente de dos polinomios en los que el grado del denominador es menor que el del numerador; y por ser el coeficiente de n⁵ negativo, el límite es -¥.

Resolución:

· Es el límite de un producto. El primer factor es un cociente de dos polinomios siendo el grado del numerador mayor que el del denominador, y al ser el coeficiente de mayor grado del numerador 3, positivo, el límite es +¥.

· El segundo factor es otro cociente de polinomios, esta vez del mismo

El límite que se pide es de la forma (+¥)·(-5) = -¥

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Límites indeterminados

Se llaman límites indeterminados a los que presentan alguna de estas formas:

Contra lo que se pudiera pensar, un límite de la forma ¥ - ¥ no da, en general, como resultado cero, tampoco un límite de la forma 1^¥ da siempre como resultado uno. Por esta razón se les llama límites indeterminados y se requiere hacer un estudio particular para cada caso.

Obsérvese que ya se han estudiado varios casos de indeterminaciones de la